Salah satu mata pelajaran matematik di sekolah menengah yang berkaitan dengan bulatan ialah tangen kepada bulatan. Perbincangan tangen kepada bulatan akan sentiasa berkaitan dengan persamaan bulatan. Tetapi apakah sebenarnya tangen kepada bulatan?
Apakah garis tangen kepada bulatan?
Secara ringkas, tangen boleh ditakrifkan sebagai garis tangen. Ingat, menghina berbeza dengan memotong. Lihat gambar di bawah untuk pemahaman yang lebih baik.
Dalam gambar di atas terdapat tiga baris dan 1 bulatan. Garis k adalah tangen kepada bulatan tepat pada satu titik. Titik ini dipanggil titik biasa. Garis m memotong bulatan dalam dua titik, manakala garis n berada di luar bulatan. Jadi kita boleh katakan bahawa garis k ialah tangen.
Tangen kepada bulatan ialah garisan yang menyentuh bulatan tepat pada satu titik sepunya. Titik ini seterusnya dirujuk sebagai titik tangen.
Garis tangen kepada bulatan
Terdapat lebih daripada satu tangen pada bulatan, sama banyak titik pada bulatan. Bukan sahaja bulatan, malah tangen juga boleh melalui dua bulatan.
Tangen kepada bulatan mempunyai beberapa sifat atau syarat, termasuk:
1. Hanya satu tangen kepada bulatan boleh dilukis melalui titik pada bulatan.
Secara definisi, tangen hanya mempunyai satu titik persamaan. Oleh itu, jika kita memilih satu titik pada bulatan, hanya satu jenis garis tangen boleh dibuat dari titik itu. Dan tangen yang berbeza boleh dibuat dari mana-mana titik pada bulatan.
Pertimbangkan imej di bawah.
Sebagai contoh, empat titik berbeza pada bulatan dipilih iaitu titik A, titik B, titik C dan titik D. Kemudian garis tangen boleh dilukis pada bulatan daripada empat titik ini.
Garis tangen h boleh dilukis dari titik A. Daripada titik B dan C, tangen m dan g boleh dilukis, masing-masing. Pada masa yang sama, dari titik D kita boleh membuat tangen kepada k.
2. Tangen kepada bulatan adalah berserenjang dengan jejari bulatan
Ciri pertama garis tangen ialah ia berserenjang dengan jejari bulatan. Pertimbangkan imej di bawah.
Garis m melalui pusat bulatan O dan berserenjang dengan ruas garis PQ. Segmen garisan PQ juga ialah diameter bulatan. Segmen garisan PQ memotong bulatan di titik P dan titik Q. Satu garis dilukis dari titik P, yang dipanggil garis k. Manakala, garisan dilukis dari titik Q dan ia dipanggil garis n.
Garis k dan garis n adalah selari dengan garis m. Jika garis m berserenjang dengan ruas garis PQ, manakala garis k dan garis n selari dengan garis m, garis k dan garis n juga berserenjang dengan ruas garis PQ. Garis k dan garis n adalah tangen kepada bulatan dengan pusat O.
Tangen k dan n berserenjang dengan diameter bulatan. Jadi kita boleh membuat kesimpulan bahawa tangen kepada bulatan adalah berserenjang dengan jejari bulatan.
3. 2 tangen kepada bulatan boleh dibuat melalui satu titik di luar bulatan
Tangen juga boleh dilukis dari titik di luar bulatan. Melalui satu titik di luar bulatan, dua tangen boleh dilukis.
Pertimbangkan imej di bawah.
Sebagai contoh, satu titik di luar bulatan telah dipilih secara rawak. Dalam imej, titik T telah dipilih. Dari titik T, satu garisan boleh dilukis yang bertangen kepada bulatan dengan titik tangen pada titik A dan titik C. Tangen garisan melalui titik T. Dan titik A dianggap tangen. Dan tangen yang melalui titik T dan titik C diandaikan tangen kepada g.
4. Panjang tangen yang dilukis dari satu titik di luar bulatan adalah sama
Sifat garisan seterusnya ialah lebih kurang panjang tangen yang dilukis dari satu titik di luar bulatan. Lihat semula pada imej garis tangen pada titik 4. Panjang tangen dari titik T dan titik A ialah panjang ruas garis AT. Begitu juga, panjang tangen dari titik T dan titik tangen C ialah panjang segmen garisan CT.
Sekarang kita akan buktikan sama ada panjang tangen yang dilukis dari titik di luar bulatan adalah sama atau tidak.
Mengikut sifat garis tangen pada titik 2, kedudukan garis tangen dan jejari bulatan adalah berserenjang antara satu sama lain. Dalam rajah di atas, tangen g adalah berserenjang dengan jejari OC. manakala tangen h adalah berserenjang dengan jejari OA.
Perhatikan bahawa dua segi tiga tegak terbentuk daripada tangen ini, iaitu segitiga AOT (sudut tegak di A) dan segitiga COT (sudut tegak di C).
Kami akan menentukan panjang segmen garisan CT dan panjang segmen garisan AT, yang masing-masing mewakili panjang tangen g dan h. Dengan teorem Pythagoras, kita mendapat CT2 = OT2 – OC2 dan AT2 = OT2 – OA2.
Perhatikan bahawa OC = OA kerana ia ialah jejari bulatan. Jadi ia juga boleh ditulis sebagai CT2 = OT2 – OA2 = AT2. Oleh itu terbukti bahawa panjang tangen yang dilukis dari titik di luar bulatan adalah sama.
5. Tangen yang berbeza boleh dibuat melalui dua bulatan
Jika terdapat dua bulatan yang berbeza, beberapa kemungkinan tangen boleh dibentuk. Dua tangen boleh dilukis daripada dua bulatan yang tidak bersilang atau bersilang antara satu sama lain. Tengok gambar di bawah.
Imej di atas menunjukkan dua tangen melalui dua bulatan. Garis tangen seperti yang ditunjukkan di atas dipanggil tangen sepunya dalaman. Manakala tangen sepunya luaran ditunjukkan dalam rajah di bawah.
Tiga tangen boleh dibentuk pada dua bulatan tangen seperti yang ditunjukkan dalam imej di bawah.
Dalam kedudukan berbeza dua bulatan tangen, garis tangen boleh dibentuk seperti yang ditunjukkan dalam rajah di bawah.
