Ekspansi: Definisi – Rumus dan contoh soal

Dalam matematika, ada berbagai jenis transformasi, termasuk translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi. Translasi, rotasi, dan refleksi adalah jenis transformasi atau transformasi isometrik yang menghasilkan bayangan yang sesuai dengan asalnya. Sedangkan dilatasi bukanlah translasi isometrik karena bayangan yang dihasilkan tidak simetris, melainkan diubah ukurannya menjadi naik atau turun dari asalnya.

Untuk memperjelas apa itu dilatasi, pada pembahasan kali ini kita akan membahas tentang pengertian, sifat, rumus dan contoh dilatasi.

Definisi ekspansi

Ekspansi adalah salah satu bentuk transformasi. Dalam dilatasi, transformasi yang terjadi dapat mengubah ukuran, baik menjadi lebih besar atau sebaliknya, yaitu mengecilkannya, tetapi dilatasi tidak mengubah bentuk geometri yang diinginkan.

Ekspansi diri kadang-kadang disebut sebagai ekspansi. Dalam perhitungan, pemuaian dapat ditentukan oleh faktor skala (k) atau dengan titik pusat O (0,0). Untuk menghitung atau menentukan pemuaian suatu titik atau bentuk geometris digunakan rumus pemuaian yang akan dijelaskan pada pembahasan selanjutnya.

Dengan demikian, dilatasi dapat diartikan sebagai transformasi yang memindahkan titik-titik pada bangun geometri yang perpindahannya bergantung pada titik pusat dilatasi dan faktor dilatasi (skala), sehingga terjadi pengubahan ukuran bayangan bangun geometri yang diperbesar. bertambah atau berkurang.

Properti ekspansi

Dilatasi memiliki sifat-sifat tertentu yang berhubungan dengan besarnya faktor skala. Beberapa sifat transformasi ekspansi adalah sebagai berikut:

Jika faktor pemuaian lebih besar dari 1 (k > 1), maka bayangan diperbesar dan ditempatkan secara sepihak di tengah-tengah bayangan asli.
Jika faktor pemuaian antara 0 dan 1 (0 < k < 1), gambar akan diperkecil dan ditempatkan satu sisi di tengah pemuaian dan bentuk aslinya.
Jika faktor dilatasi antara -1 dan 0 (-1 < k < 0), maka bayangan diperkecil dan ditempatkan pada sisi yang berlawanan dari pusat dilatasi dan bangun semula.
Jika koefisien dilatasi lebih kecil dari -1 (k < -1), maka bayangan diperbesar dan terletak pada sisi yang berlawanan dari pusat dilatasi dan pi asli.

Contoh pemuaian dalam kehidupan sehari-hari

Contoh penggunaan dilatasi dalam kehidupan sehari-hari antara lain sebagai berikut:

Dalam cara kerja mikroskop untuk memperbesar benda yang sangat kecil atau mikroskopis dengan faktor perbesaran hingga ribuan kali.
Dalam pembuatan miniatur atau replika yang mengurangi objek aslinya dengan faktor skala tertentu.
Dalam pembuatan peta atau denah dengan skala tertentu.

Rumus ekspansi

Seperti disebutkan sebelumnya, perhitungan dilatasi ditentukan oleh faktor skala serta titik pusat. Ekspansi di pusat P diwakili oleh faktor skala k [P, k].

Dilatasi dengan titik pusat (0,0)

Dilatasi yang berpusat pada (0,0) dengan faktor skala k dilambangkan dengan [ O, k]

Untuk menghitung jumlah ekspansi [O, k] Dari asal (x,y), secara umum dapat digunakan rumus:

x’ = kx Dan y’ = ky

Oleh karena itu, untuk dilasi dengan titik pusat (0,0) cara menentukan titik bayangan sangat mudah, yaitu dengan mengalikan X Dan kamu dengan faktor skala ekspansi

Ekspansi ke titik pusat P (a, b)

Dilatasi dengan titik pusat (a, b) dengan faktor skala k dilambangkan dengan [ (a,b), k]

Untuk menghitung jumlah ekspansi [(a,b), k] Dari asal (x,y), secara umum dapat digunakan rumus:

x’ = a + k(x – a) Dan y’ = b + k(y – b)

Contoh pertanyaan ekstensi

1. Tentukan faktor skala bayangan titik P (4,-12) yang diperluas ke titik pusat (0,0).

larutan:

Untuk melebarkan dengan titik pusat (0,0), kita gunakan rumus x’ = kx Dan y’ = ky

Jadi untuk titik (4, -12) adalah bayangannya

x’ = kx  = ½ (4) = 2
y’= ky = ½ (-12) = -6

Maka P’ (2, -6)

2. Diketahui sebuah segitiga memiliki titik sudut pada koordinat berikut: A(2,3), B(7,1) dan C(-2,-5). Kemudian bentuknya diperluas dengan faktor skala 3 relatif terhadap pusat M(1,3). Kemudian tentukan koordinat bayangan!

larutan:

Untuk dilasi dengan pusat M (1,3) dan k=3, maka kita menggunakan rumus x’ = a + k(x – a) Dan y’ = b + k(y – b)

A (2,3) maka koordinat bayangannya adalah:

x’ = 3(2-1) + 1 = 4
y’ = 3(3-3)+3 =  3

Jadi A’ (4,3)

B (7,1) maka koordinat bayangannya adalah:

x’ = 3(7-1) + 1 = 19
y’ = 3(1-3) + 3 =  -3

Jadi B’ (19, -3)

C (-2,-5) maka koordinat bayangannya adalah:

x’ = 3(-2-1) + 1 = -8
y’ = 3(-5-3) + 3 =  -21

Jadi C’ (-8, -21)

3. Tentukan bayangan kurva y = x² – 6x + 5 jika dilebarkan dengan faktor skala 3 dan berpusat di (0,0).

Membahas:

x’ = 3x → x = 1/3 x’
y’ = 3y → y = 1/3 y’

Kemudian nilainya disubstitusikan ke persamaan y = x² – 6x + 5, maka hasilnya menjadi:
       
1/3 y’ = (1/3 x’)² – 6(1/3x’) + 5
1/3 y’ = (1/9 x’)² – 2x’ + 5               (Semua ruas kalikan dengan  3)
   y’ = (1/3x’)² – 6x’ + 15

Jadi persamaannya adalah y = 1/3x² – 15×6

4. Sebuah titik P(-6,4) dilebarkan untuk membuat bayangan pada titik P'(3,-2) dan pusat dilatasi (0,0). Tentukan besar faktor skala ekspansi!